Viết Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 1 Điểm Và Cắt 2 Đường Thẳng

     

Viết phương trình con đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và giảm đường thẳng d2

Với Viết phương trình đường thẳng đi sang một điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và giảm đường thẳng d2 Toán lớp 12 bao gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ như minh họa và bài xích tập trắc nghiệm gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình con đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với con đường thẳng d1 và giảm đường thẳng d2 từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng

*

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT phương diện phẳng (P) đi qua A với vuông góc với con đường thẳng d1

- tìm giao điểm B = (P) ∩ (d2)

- Đường thẳng yêu cầu tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Cách 2:

- Viết PT phương diện phẳng (P) trải qua A với vuông góc với đường thẳng d1

- Viết PT phương diện phẳng (Q) đi qua A và cất đường thẳng d2

- Đường thẳng d cần tìm là d = (P) ∩ (Q)

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, đến điểm A( 1; - 1; 3) và hai tuyến đường thẳng

*
. Viết phương trình mặt đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.

A.

*

B.

*

C.

D.

*

Hướng dẫn giải

+ call ( P) là phương diện phẳng qua A vuông góc cùng với đương thẳng d1.

Đường trực tiếp d1 tất cả vecto chỉ phương là ( 1; 4; -2) nên một vecto pháp con đường của phương diện phẳng (P) là:

*

=> Phương trình khía cạnh phẳng (P) là: 1( x-1) + 4( y+1) – 2( z- 3) =0 .Hay x+ 4y – 2z + 9= 0

+Gọi giao điểm của mặt đường thẳng d2 cùng mặt phẳng ( P) là điểm BDo B thuộc d2 nên tọa độ B( 2+ t; - 1- t; 1+ t) . Gắng tọa độ điểm B vào phương trình phương diện phẳng (P) ta được : 2+ t + 4( - 1- t) – 2( 1+ t) + 9= 0⇔ 2+ t- 4 – 4t- 2- 2t + 9= 0⇔ - 5t+ 5= 0 ⇔ t= 1=> B( 3; -2; 2)

+ Đường trực tiếp d đề nghị tìm là con đường thẳng AB: Đi qua A(1; -1;3) nhấn vecto

*

=> Phương trình chính tắc của mặt đường thẳng AB:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; cho hai tuyến đường thẳng

*
. Phương trình đường thẳng d trải qua điểm A( 1;2; -2) vuông góc với d1 và cắt d2 là:

A.

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

+ điện thoại tư vấn giao điểm của của d và d2 là B.

Do B trực thuộc d2 phải tọa độ B( t; 1+ 2t; t) =>

*
.

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

*

+ vì đường trực tiếp d vuông góc với d1 cần

*
=>
*
= 0⇔ 2( t-1) + 2( 2t- 1) + 1(t+ 2) = 0⇔ 2t – 2 + 4t – 2+ t+ 2= 0⇔ 7t- 2= 0 bắt buộc t= 2/7

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1; 2; - 2) và gồm vectơ chỉ phương

*
lựa chọn vecto chỉ phương ( 5; 3; - 16)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng:

*
và điểm A (1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng d trải qua A,vuông góc cùng với d1 và cắt d2.

A.

*

B.

*

C.

D. Toàn bộ sai

Hướng dẫn giải

- điện thoại tư vấn mặt phẳng (P) trải qua điểm A cùng vuông góc với con đường thẳng d1 gồm vectơ pháp đường là

*

Phương trình khía cạnh phẳng (P) là:2.(x – 1) – 1 . (y – 2) + 1. (z – 3) = 0 giỏi 2x – y + z – 3 = 0

-Gọi giao điểm của khía cạnh phẳng (P) và con đường thẳng d2 là B

B nằm trong d2 buộc phải tọa độ B( 1- t; 1+ 2t; - 1+ t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình khía cạnh phẳng (P) ta được: 2( 1- t) – ( 1+ 2t) + ( - 1+ t) – 3= 0⇔ 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0⇔ -3t – 3= 0 yêu cầu t= -1

Suy ra: B (2; -1; -2)

- Đường thẳng yêu cầu tìm là con đường thẳng trải qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

*

Vậy phương trình con đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hai tuyến phố thẳng:

*
Viết phương trình mặt đường thẳng d đi qua A (0; 1; 1), vuông góc cùng với d1 và cắt d2.

A.

*

B.

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

- Goi khía cạnh phẳng (P) đi qua điểm A cùng vuông góc với mặt đường thẳng d1 bao gồm vectơ pháp con đường là

*

- Một điểm nằm trong d2 là : M (0; 0; 2) ;

*

Mặt phẳng (Q) trải qua A và chứa đường trực tiếp d2 bao gồm vectơ pháp đường là:

*

=>

*

- Đường thẳng nên tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

*

=>

*

Vậy phương trình con đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt đường thẳng d trải qua điểm N(1; 1; -2) vuông góc với con đường thẳng

*
và cắt trục hoành bao gồm phương trình là

A.

*

B.

*

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi

*
.

Ta gồm

*
, lúc đó:

Do

*
⇔ 2m+ 5= 0
*

*

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

*

Phương trình của d đương trực tiếp d:

Chọn C .

Ví dụ 6.Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; mang đến hai điểm A(1; 2; 3) cùng B( 3; 0; 1). Hotline M là trung điểm của AB. Đường trực tiếp d trải qua M vuông góc với trục tung và giảm đường trực tiếp

*
. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

Xem thêm: Đề Thi Khảo Sát Chất Lượng Đầu Năm Lớp 7 Môn Toán Lớp 7, Đề Khảo Sát Chất Lượng Đầu Năm Lớp 7

B.

*

C.

*

D. Đáp án không giống

Hướng dẫn giải

+ vì M là trung điểm của AB đề nghị tọa độ M(2; 1; 2)

+ call giao điểm của mặt đường thẳng d với Δ là: H( 2; 1+ t; 2t)=>

*

Ta gồm vecto chỉ phương của trục tung là:

*
, khi đó:

Do

*
⇔ t= 1 đề nghị tọa độ H( 2; 2; 2)

+ Đường thẳng d nên tìm là đường thẳng MH: đi qua M( 2; 1; 2) cùng vecto chỉ phương

*

=> Phương trình mặt đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai tuyến phố thẳng

*
. Call d là con đường thẳng qua M( 2; 3; 1); cắt d1 với vuông góc cùng với d2. Trong các vecto sau; vecto làm sao là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d?

A. ( 1; 2; 1)

B. ( 1; -2; -2)

C. (1; -1; -2)

D.( 1; 1;-2)

Hướng dẫn giải

+ hotline mặt phẳng (P) trải qua điểm M cùng vuông góc với con đường thẳng d1 bao gồm vectơ pháp con đường là

*

- Một điểm nằm trong d2 là : N (1; 1; 2);

*

Mặt phẳng (Q) trải qua M và chứa đường trực tiếp d2 có vectơ pháp tuyến đường là:

*

- Đường thẳng bắt buộc tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

*

Chọn D

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mang đến đường trực tiếp

*
. Call d là mặt đường thẳng qua A( -1; -1;2) ; giảm d1 cùng vuông góc với trục hoành. Biết phương trình thông số của con đường thẳng d có dạng :
*
. Tính a+ b+ c?

A. – 3

B. 5

C. 7

D. - 1

Hướng dẫn giải

+ hotline giao điểm của con đường thẳng d với d1 là: H( 2+ 3t; 1- t; 2t)=>

*

Ta tất cả vecto chỉ phương của trục hoành là:

*
, lúc đó:

Do

*
⇔ 3+ 3t= 0 đề xuất t= - 1 => tọa độ H( -1; 2; - 2)

+ Đường trực tiếp d buộc phải tìm là con đường thẳng AH: trải qua A(-1; -1;2) và vecto chỉ phương

*

=> Phương trình đường thẳng d:

*

Suy ra: a= -1; b=2 với c= 4 bắt buộc a+ b+ c= 5

Chọn B.

Ví dụ 9. Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

*
. Phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): 7x+ y- 4z= 0 cùng cắt hai tuyến phố thẳng d1; d2 là:

A:

B.

*

C.

*

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của con đường thẳng d với hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là A cùng B.

+ Điểm A∈ d1 đề nghị tọa độ A( 2a; 1- a; - 2+ a)

Điểm B∈ d2 yêu cầu tọa độ B( - 1+ 2b; 1+ b; 3)

=>

*

+ mặt phẳng (P) tất cả vectơ pháp con đường

*

+ bởi đường trực tiếp d vuông góc với mặt phẳng ( P) đề nghị hai vecto AB→ với np→ thuộc phương ⇔ có một trong những k vừa lòng

*

*

+ Đường thẳng d trải qua điểm A( 2; 0; -1) và gồm vectơ chỉ phương

*

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

C. Bài bác tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mang lại điểm A(-2; -1; 1) và hai đường thẳng

*
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và giảm đường thẳng d2.

A.

*

B.

C.

*

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ điện thoại tư vấn ( P) là khía cạnh phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.

Đường trực tiếp d1 có vecto chỉ phương là (1; 2; -2) nên một vecto pháp con đường của khía cạnh phẳng (P) là:

*

=> Phương trình phương diện phẳng (P) là: 1( x+ 2) + 2( y+1) – 2( z- 1) =0 tốt x+ 2y – 2z + 6= 0

+Gọi giao điểm của mặt đường thẳng d2 cùng mặt phẳng ( P) là vấn đề B

Do B thuộc d2 phải tọa độ B( - 2t; - 1- t; t) . Vậy tọa độ điểm B vào phương trình khía cạnh phẳng (P) ta được : - 2t + 2( - 1- t) - 2t+ 6 = 0 ⇔ - 2t – 2 – 2t- 2t+ 6= 0⇔ - 6t +4= 0 ⇔ t= 2/3 => B( (- 4)/3; (- 5)/3; 2/3)

+ Đường thẳng d đề nghị tìm là con đường thẳng AB: Đi qua A( -2; -1; 1) dìm vecto

*
lựa chọn ( 2; -2; - 1).

=> Phương trình bao gồm tắc của mặt đường thẳng AB:

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

*
. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2; 1; -3) vuông góc cùng với d1 và cắt d2 là:

A.

B.

*

C.

*

D.

*

Lời giải:

+ gọi giao điểm của của d và d2 là B.

Do B trực thuộc d2 bắt buộc tọa độ B( 3- 2t; t; 4+ t ) =>

*

+ Đường trực tiếp d1 gồm vectơ chỉ phương

*

+ do đường thẳng d vuông góc cùng với d1 cần

*

=>

*
= 0

⇔ 1( 5- 2t) – 3( t- 1) + 1( 7+ t)= 0⇔ 5- 2t – 3t + 3+ 7+ t= 0⇔ - 4t + 15= 0 nên t= 15/4

+ Đường trực tiếp d đi qua điểm A (-2; 1; -3) và có vectơ chỉ phương

*
chọn vecto chỉ phương ( -10; 11; 43)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Câu 3:

Cho hai tuyến phố thẳng:

*
và điểm A (0; 0; 1). Đường trực tiếp d trải qua A,vuông góc cùng với d1 và cắt d2. Trong các điểm sau điểm nào thuộc mặt đường thẳng d?

A. ( - 5; - 6; 9)

B.( 5; - 6; 7)

C. ( -10; 12; 17)

D. ( 1; 1; 2)

Lời giải:

- hotline mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0; 0; 1) cùng vuông góc với mặt đường thẳng d1 tất cả vectơ pháp tuyến đường là

*

Phương trình mặt phẳng (P) là:-2.(x – 0) – 3 . (y – 0) + 1. (z – 1) = 0 tốt - 2x – 3y+ z- 1 = 0 ⇔ 2x+ 3y – z+ 1= 0

-Gọi giao điểm của phương diện phẳng (P) và đường thẳng d2 là B

B trực thuộc d2 phải tọa độ B( 1- t; 3; - 2+ 2t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) + 3. 3- ( - 2+ 2t) + 1= 0⇔ 2- 2t + 9 + 2- 2t + 1= 0⇔ - 4t + 14= 0 ⇔ t= 7/2 =>

*

- Đường thẳng nên tìm là mặt đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

*

Vậy phương trình con đường thẳng d là:

*

Cho t= 2 ta lấy điểm I( -10; 12; 17) thuộc con đường thẳng d .

Chọn C.

Câu 4:

Cho đường thẳng:

*
cùng hai điểm M( 1; -2; -1); N(0; 1; 2) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 0; 0 ), vuông góc với MN và giảm d1.

A.

*

B.

*

C.

*

D.

Lời giải:

+ điện thoại tư vấn giao điểm của d và d1 là B( -2+ 2t; t; 1- t)

+ lúc ấy đường thẳng d chính là đường trực tiếp AB cần đường thẳng d dấn vecto

*
có tác dụng vecto chỉ phương

+ do đường trực tiếp d vuông góc với đường thẳng MN

=>

*

=> - 1( - 3- 2t) + 3. T+ 3( 1- t) = 0⇔ 3+ 2t +3t + 3- 3t= 0 ⇔ 2t+ 6= 0⇔ t= - 2 => B( - 6; - 2; 3)

+ Đường thẳng d trải qua A (1; 0;0) nhấn vecto

*
có tác dụng vecto chỉ phương

=> Phương trình con đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d trải qua điểm A( -1; 2; 3) vuông góc với đường thẳng

*
và giảm trục hoành. Hỏi mặt đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng nào trong số mặt phẳng sau

A. 4x+ y- 10= 0

B. 2x+ y- 6z+ 1= 0

C. X+ 2y- z+ 1= 0

D. – x+ 2y- 2z= 0

Lời giải:

Gọi

*

Ta có

*
, khi đó:

Do

*
⇔ - 2m- 2+ 4- 3= 0 ⇔ m=-1/2 ⇒
*
*

Suy ra một vecto chỉ phương của con đường thẳng là:

*

Phương trình của d đương trực tiếp d:

*

+ Xét mặt phẳng (P): 4x + y- 10= 0 có vecto pháp tuyến

*

=>

*

Đường trực tiếp d vuông góc với khía cạnh phẳng (P).

Chọn A .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; đến điểm A(-1; 2; 0); B( 2; 1;1) và C( 2; 3; 2). Gọi G là trung tâm của tam giác ABC. Đường trực tiếp d trải qua G vuông góc với trục tung và cắt đường trực tiếp

*
. Viết phương trình con đường thẳng d?

A.

*

B.

*

C.

Xem thêm: Đặt Câu Miêu Tả Dáng Đi Của Một Người, Cho Ví Du, Miêu Tả Dáng Đi Của Một Người Có So Sánh

*

D.

Lời giải:

+ bởi vì G là trọng tâm của tam giác ABC đề nghị tọa độ G( 1; 2;1) .

+ gọi giao điểm của mặt đường thẳng d cùng ∆ là: H( 1- t; - 2+ 2t; 2)=>

*

Ta gồm vecto chỉ phương của trục tung là:

*
, lúc đó:

Do

*
⇔ 2t- 4= 0 ⇔ t= 2 cần tọa độ H( -1; 2; 2)

+ Đường trực tiếp d nên tìm là đường thẳng GH: đi qua G( 1; 2; 1) với vecto chỉ phương

*

=> Phương trình con đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai tuyến phố thẳng

*
. Gọi d là con đường thẳng qua I( 1; 1;1); giảm d1 với vuông góc cùng với d2. Trong những vecto sau; vecto như thế nào là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d?

A. (-3; 1; -3)

B. ( -3; -1; 3)

C. (-3; 1; 3)

D.( 3; 1; 3)

Lời giải:

+ gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm I với vuông góc với mặt đường thẳng d1 tất cả vectơ pháp tuyến đường

*

- Một điểm ở trong d2 là : O(0; 0;0);

*

Mặt phẳng (Q) đi qua I và đựng đường trực tiếp d2 gồm vectơ pháp tuyến là:

*

- Đường thẳng phải tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

*

Chọn D

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; đến đường thẳng

*
. Hotline d là con đường thẳng qua A(3; 2; 2) ; giảm d1 cùng vuông góc cùng với trục hoành. Biết phương trình thông số của con đường thẳng d tất cả dạng :
*
. Tính a.b.c?

A. 8

B. - 12

C. - 8

D. 12

Lời giải:

+ call giao điểm của con đường thẳng d cùng d1 là: H( 3t; -2+ t; 2- t)=>

*

Ta tất cả vecto chỉ phương của trục hoành là:

*
, khi đó:

Do

*
⇔ 3t - 3= 0 đề xuất t= 1 => tọa độ H( 3; - 1; 1)

+ Đường trực tiếp d đề xuất tìm là con đường thẳng AH: đi qua A( 3; 2; 2) với vecto chỉ phương

*