Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Hướng dẫn, giải pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một vài ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà những em áp dụng một hay nhiều phương thức để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.

I. Cách thức 1 : sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: tìm x, y thành phần thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta tất cả (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng mà x thành phần ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm: 1 It Is Necessary To Finish The Wor K Today, 1 It Isnt Necessary To Finish The Work Today


Xem thêm: Một Bể Cá Có Dạng Hình Hộp Chữ Nhật, Cho Một Bể Cá Mini Có Dạng Hình Hộp Chữ Nhật


Cách thức 2 : phương pháp phân tích

Thực chất là biến hóa phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Phương thức 3 : phương thức cực hạn

Sử dụng so với 1 số câu hỏi vai trò của những ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

phía dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình tất cả nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta bao gồm x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta gồm phương trình bậc 2 ẩn x. đưa sử phương trình bậc 2 gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 nhưng 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm kiếm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : cần sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 16: tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

hướng dẫn:

Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0