Giải Bài Tập Toán 11 Trang 36

     

Hướng dẫn giải, đáp án bài xích 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường gặp) – Chương 1: Hàm con số giác với phương trình lượng giác.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 36

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.

Nghiệm của phương trình đã mang lại là những nghiệm của nhị phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình vẫn cho tương tự với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 

*

*

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

*
 a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 

*

Phương trình sẽ cho tương tự với

cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.

Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của nhị phương trình sau :

*

và 

*

Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình biến đổi 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.

Vậy 

*

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành


Quảng cáo


t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.

Vậy 

*

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;

b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.

Giải: a) thường thấy cosx = 0 không vừa lòng phương trình đã cho nên vì vậy chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương tự 2tan2x + tanx – 3 = 0.

Xem thêm: Việc Nguyễn Ái Quốc Bỏ Phiếu Tán Thành, Gia Nhập Quốc Tế Cộng Sản Và Tham Gia Sáng Lập

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.

Vậy 

*

b) cố kỉnh 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã cho trở thành

3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x

⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

*

⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) nạm sin2x = 2sinxcosx ;


Quảng cáo


1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã mang đến và rút gọn ta được phương trình tương đương

1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

*

⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0

⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

*

Bài 5. Giải những phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.

Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2

*

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) đề nghị phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

*

d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 

*

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6. a. Tan (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;

b. Rã x + rã (x + π/4) = 1

*

*

Ôn lại Lý thuyết

Phương pháp giải phương trình hàng đầu đối với cùng 1 hàm con số giác

Chỉ phải thực hiên nhì phép biến đổi tương đương: chuyển số hạng không cất x quý phái vế buộc phải và đổi dấu; phân tách hai vế phương trình cho một trong những khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình bậc hai so với một hàm con số giác

Đặt hàm số lượng giác đựng ẩn phụ ta gửi được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc nhị này. Trường hợp phương trình bậc hai gồm nghiệm thì ráng giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép để ta sẽ tiến hành một phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c

Chỉ đề nghị xét trường đúng theo cả hai hệ số a, b phần nhiều khác 0 (trường hợp 1 trong những hai thông số đó bởi 0 thì phương trình buộc phải giải là hpuwong trình hàng đầu đối với một hàm con số giác (sinx hoặc cosx) đã biết phương pháp giải.

Cách 1: phân tách hai vế phương trình cho

*
 và gọi α là góc lượng giác tạo vị chiều dương của trục hoành cùng với vecto OM = (a ; b) thì phương trình trở nên một phương trình đã biết cách giải:
*
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng
*
, phương trình biến :
*

Phương trình này đã biết phương pháp giải.

Chú ý : Để phương trình 

*
 có nghiệm, điều kiện cần cùng đủ là

*

Đó cũng là đk cần với đủ để phương trình asinx + bcosx = c bao gồm nghiệm.

Xem thêm: Game Cô Bé Lọ Lem, Trang Điểm Cho Lọ Lem, Trang Điểm Cho Lọ Lem

Phương pháp giải những phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Hệ thống các công thức lượng giác rất đa dạng chủng loại nên những phương trình lượng giác cũng khá đa dạng. Thực hiện thành thạo những phép biến đổi lượng giác các em hoàn toàn có thể đưa những phương trình bắt buộc giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai so với cosx cùng sinx :

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d

có thể mang về dạng phương trình bậc hai so với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Cũng chính vì sự đa dạng và nhiều mẫu mã ấy nên cửa hàng chúng tôi cũng chỉ hoàn toàn có thể minh họa cách thức giải thông qua một số trong những ví dụ điển hình và những em có thể nắm vững phương thức giải thông qua nhiều bài xích tập.