ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

     

Bất đẳng thức Cosi là trong số những kiến thức toán học tập phổ biến, được áp dụng để giải các dạng toán về phương trình với bất phương trình khác nhau tương tự như tìm giá chỉ trị lớn nhất và giá trị bé dại nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team thucdemcungban.vn Education để giúp các em hiểu rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi đến 2 số, cho 3 số, dạng tổng thể và hệ trái với một trong những bài tập áp dụng có đáp án.

Bạn đang xem: áp dụng bất đẳng thức côsi


*

Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức truyền thống trong toán học, khởi nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cùng và vừa phải nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng tỏ bởi đơn vị toán học bạn pháp Augustin – Louis Cauchy. Bên cạnh tên Cosi, các người còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy tốt bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean cùng Geometric Mean).

Các dạng trình diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi có thể được trình diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới những dạng đặc biệt quan trọng khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực ko âm x1, x2,…, xn ta hoàn toàn có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi bên dưới 3 dạng như sau:

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Với những số thực dương x1, x2,…, xn ta có:

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 = … = xn


lý thuyết Về Tích Phân Và phương pháp Tính Tích Phân Cơ Bản

Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn quan trọng đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:


*

Hệ trái của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng thể và những dạng đặc biệt, ta gồm 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà những em nên ghi nhớ bên dưới đây. Các hệ quả này hay được áp dụng nhiều trong việc tìm và đào bới giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức.

Hệ trái 1: giả dụ tổng của 2 số dương không đổi thì tích của bọn chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.Hệ trái 2: nếu tích của 2 số dương không thay đổi thì tổng của 2 số này bé dại nhất khi 2 số đó bởi nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực ko âm

Với 2 số thực không âm a cùng b, ta thấy lúc a với b đều bởi 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ việc chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.

Cách chứng minh như sau:


eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã minh chứng được BĐT Cosi luôn luôn đúng với 2 số thực ko âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm

Với a, b, c đều bởi 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúngVới a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned
Lúc này, ta trở lại dạng minh chứng bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương


eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned
Khi đó, lốt bằng xảy ra khi x = y = z tuyệt a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo minh chứng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đúng.

Do đó, để minh chứng bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng tỏ nó cũng như với 2n số. Cách chứng minh như sau:


x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc thù quy hấp thụ thì bất đẳng thức này đúng với n là 1 trong lũy quá của 2.


triết lý Về Phép đổi thay Hình Lớp 11

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn luôn đúng với n-1 số như sau:


eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi cùng với 2n số với (n – 1) số luôn đúng, từ kia ta rất có thể kết luận rằng BĐT Cosi cùng với n số thực không âm luôn luôn đúng.

Xem thêm: Nguồn Gốc, Ý Nghĩa Ngày 8 3 Là Ngày Gì ? Ý Nghĩa, Nguồn Gốc Ngày 8/3

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy hội chứng minh:


left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8
Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:


eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều phải chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: đổi khác nhân chia, thêm, sút một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng tỏ rằng:


fracabc+fracbca+fracacbge a+b+c
Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:


eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều yêu cầu chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.

Học livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn nâng tầm điểm số 2022 – 2023 trên thucdemcungban.vn Education

thucdemcungban.vn Education là nền tảng học livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn uy tín và hóa học lượng hàng đầu Việt Nam giành cho học sinh từ lớp 8 tới trường 12. Với văn bản chương trình đào tạo và giảng dạy bám liền kề chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, thucdemcungban.vn Education để giúp các em mang lại căn bản, cải tiến vượt bậc điểm số và cải thiện thành tích học tập tập.

Tại thucdemcungban.vn, những em đã được giảng dạy bởi những thầy cô thuộc vị trí cao nhất 1% thầy giáo dạy tốt toàn quốc. Các thầy cô đều sở hữu học vị trường đoản cú Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm ghê nghiệm giảng dạy và có rất nhiều thành tích xuất nhan sắc trong giáo dục. Bằng cách thức dạy sáng sủa tạo, ngay gần gũi, những thầy cô để giúp các em tiếp thu kiến thức và kỹ năng một cách gấp rút và dễ dàng dàng.


đứng đầu 11 trang web Học Toán Trực Tuyến

thucdemcungban.vn Education còn tồn tại đội ngũ thế vấn học tập tập siêng môn luôn theo sát quá trình học tập của những em, cung ứng các em câu trả lời mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình tiếp thu kiến thức của mình.

Với ứng dụng tích hợp tin tức dữ liệu cùng căn cơ công nghệ, từng lớp học của thucdemcungban.vn Education luôn bảo đảm đường truyền định hình chống giật/lag tối đa với quality hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng gốc rễ học livestream trực tuyến đường mô phỏng lớp học tập offline, các em có thể tương tác thẳng với giáo viên dễ dàng như khi tham gia học tại trường.

Khi biến học viên tại thucdemcungban.vn Education, những em còn cảm nhận các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp tổng thể công thức và văn bản môn học được biên soạn chi tiết, tinh vi và chỉn chu giúp các em học tập tập với ghi nhớ kiến thức dễ ợt hơn.

Xem thêm: Top 20 Nên Kinh Doanh Gì Ở Thị Trấn Nhỏ Nên Kinh, Nên Kinh Doanh Gì Ở Thị Trấn Nhỏ

thucdemcungban.vn Education khẳng định đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm đến học viên. Còn nếu không đạt điểm số như cam kết, thucdemcungban.vn vẫn hoàn trả các em 100% học tập phí. Những em hãy nhanh tay đăng cam kết học livestream trực con đường Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại thucdemcungban.vn Education ngay hôm nay để được hưởng mức tiền học phí siêu ưu đãi lên tới 39% sút từ 699K chỉ từ 399K.